Визначення та побудова
Правильним шестикутником називається площинна постать, яка має шість рівних по довжині сторін і стільки ж рівних кутів.
Якщо згадати формулу суми кутів багатокутника
180 ° (n-2),
то виходить, що в цій фігурі вона дорівнює 720 °. Ну а оскільки всі кути фігури рівні, неважко порахувати, що кожен з них дорівнює 120 °.
Накреслити шестикутник дуже просто, для цього досить циркуля і лінійки.
Покрокова інструкція буде виглядати так:
чертится пряма лінія і на ній ставиться крапка;- з цієї точки будується коло (вона є її центром);
- з місць перетину кола з лінією будуються ще дві таких же, вони повинні зійтися в центрі.
- після цього відрізками послідовно з'єднуються всі точки на першій окружності.
При бажанні можна обійтися і без лінії, накресливши п'ять рівних по радіусу кіл.
Отримана таким чином фігура буде правильним шестикутником, і це можна довести нижче.
Властивості прості і цікаві
Щоб зрозуміти властивості правильного шестикутника, його має сенс розбити на шість трикутників:
Це допоможе в подальшому наочніше відобразити його властивості, головні з яких:
- діаметр описаного кола;
- діаметр вписаного кола;
- площа;
- периметр.
Описана окружність і можливість побудови
Навколо гексагона можна описати коло, і притому тільки одну. Оскільки фігура ця правильна, то можна поступити досить просто: від двох сусідніх кутів провести всередину бісектриси. Вони перетнуться в точці О, і утворюють разом зі стороною між ними трикутник.
Кути між стороною гексагона і биссектрисами будуть по 60 °, тому можна впевнено сказати, що трикутник, наприклад, АОВ - рівнобедрений. А оскільки третій кут теж буде дорівнює 60 °, то він ще й рівносторонній. Звідси випливає, що відрізки ОА і ОВ рівні, значить, можуть служити радіусом окружності.
Після цього можна перейти до наступної стороні, і з кута при точці С теж вивести бісектрису. Вийде черговий рівносторонній трикутник, причому сторона АВ буде загальною відразу для двох, а ОС - черговим радіусом, через який йде та ж коло. Всього таких трикутників вийде шість, і у них буде загальна вершина в точці О. Виходить, що описати коло буде можна, і вона всього одна, а її радіус дорівнює стороні гексагона:
R = а.
Саме тому і можлива побудова цієї фігури за допомогою циркуля і лінійки.
Ну а площа цієї окружності буде стандартна:
S = πR²
вписана окружність
Центр описаного кола співпаде з центром вписаного. Щоб в цьому переконатися, можна провести з точки Про перпендикуляри до сторін шестикутника. Вони будуть висотами тих трикутників, у тому числі складено гексагон. А в трикутник висота є медіаною по відношенню до сторони, на яку вона спирається. Таким чином, ця висота не що інше, як серединний перпендикуляр, який є радіусом вписаного кола.
Висота рівностороннього трикутника обчислюється просто:
h² = а²- (а / 2) ² = а²3 / 4, h = а (√3) / 2
А оскільки R = a і r = h, то виходить, що
r = R (√3) / 2.
Таким чином, вписана окружність проходить через центри сторін правильного шестикутника.
Її площа становитиме:
S = 3πa² / 4,
тобто три чверті від описаної.
Периметр і площа
З периметром все ясно, це сума довжин сторін:
P = 6а, або P = 6R
А ось площа буде дорівнює сумі всіх шести трикутників, на які можна розбити гексагон. Оскільки площа трикутника обчислюється як половина твори підстави на висоту, то:
S = 6 (а / 2) (а (√3) / 2) = 6а² (√3) / 4 = 3а² (√3) / 2 або
S = 3R² (√3) / 2
Бажаючим обчислювати цю площу через радіус вписаного кола можна зробити і так:
S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)
цікаві побудови
У гексагон можна вписати трикутник, сторони якого будуть з'єднувати вершини через одну:
Всього їх вийде два, і їх накладення один на одного дасть зірку Давида. Кожен з цих трикутників - рівносторонній. У цьому неважко переконатися. Якщо подивитися на сторону АС, то вона належить одразу двом трикутниках - ВАС і АЕС. Якщо в першому з них АВ = ВС, а кут між ними 120 °, то кожен з решти буде 30 °. Звідси можна зробити закономірні висновки:
- Висота АВС з вершини В дорівнюватиме половині боку шестикутника, оскільки sin30 ° = 1/2. Бажаючим переконатися в цьому можна порадити перерахувати по теоремі Піфагора, вона тут підходить якнайкраще.
- Сторона АС буде дорівнює двом радіусів вписаного кола, що знову-таки обчислюється за тією ж теоремі. Тобто АС = 2 (a (√3) / 2) = а (√3).
- Трикутники АВС, СДЕ і АЕF рівні за двома сторонами і кутом між ними, і звідси випливає рівність сторін АС, РЄ та ЕА.
Перетинаючись один з одним, трикутники утворюють новий гексагон, і він теж правильний. Доводиться це просто:
Кут АВF дорівнює куту ВАС. Таким чином, вийшов трикутник з основою АВ і безіменній вершиною навпроти нього - рівнобедрений.- Всі такі ж трикутники, підставою яких служить сторона гексагона, рівні по стороні і прилеглої до неї кутам.
- Трикутники при вершинах гексагона є рівносторонніми і рівними, що випливає з попереднього пункту.
- Кути новоствореного шестикутника дорівнюють 360-120-60-60 = 120 °.
Таким чином, фігура відповідає ознакам правильного шестикутника - у неї шість рівних сторін і кутів. З рівності трикутників при вершинах легко вивести довжину сторони нового гексагона:
d = а (√3) / 3
Вона ж буде радіусом описаної навколо нього кола. Радіус вписаного буде вдвічі менше боку великого шестикутника, що було доведено під час розгляду трикутника АВС. Його висота становить якраз половину боку, отже, друга половина - це радіус вписаного в маленький гексагон окружності:
r₂ = а / 2
Площа нового шестикутника можна порахувати так:
S = (3 (√3) / 2) (а (√3) / 3) ² = а (√3) / 2
Виходить, що площа гексагона всередині зірки Давида в три рази менше, ніж у великого, в який вписана зірка.
Від теорії до практики
Властивості шестикутника дуже активно використовуються як в природі, так і в різних областях діяльності людини. В першу чергу це стосується болтів і гайок - капелюшки перших і другі являють собою ніщо інше, як правильний шестигранник, якщо не брати до уваги фаски. Розмір гайкових ключів відповідає діаметру вписаного кола - тобто відстані між протилежними гранями.
Знайшла своє застосування і гексагональна плитка. Вона поширена куди менше чотирикутної, але класти її зручніше: в одній точці сходяться три плитки, а не чотири. Композиції можуть виходити дуже цікаві:
Випускається і бетонна плитка для мощення.
Поширеність гексагона в природі пояснюється просто. Таким чином, найпростіше щільно вмістити кола і кулі на площині, якщо у них однаковий діаметр. Через це у бджолиних сот така форма.